牛顿与莱布尼茨发明微积分：机械能研究的历史与贡献

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    在“照原样说” |能量与机械能的能量转换（一），据说牛顿（艾萨克，1643-1727）和莱布尼茨（1646-1716）首先发明了微积分，从而引入了变化的概念，为机械力学的研究奠定了基础运动和机械能 ()。接下来是欧拉和拉格朗日。欧拉（Euler，1707-1783）的数学如此高超，所以专门开篇文章来介绍。

    约瑟夫·拉格朗日（-Louis，1736-1813）出生于意大利都灵。他的祖父是一名法国骑兵军官，所以他一直认为自己是法国人。他18岁时写出了第一篇数学论文。文章发表后，他发现莱布尼茨已经解决了文章中提到的问题。羞愧之下，他更加努力，很快就取得了成果。 。 19岁时，他被任命为都灵炮兵学校教授。此后十年，他发表了一系列重要文章，名声逐渐传开。 1766年，30岁的他接替欧拉担任柏林数学研究所所长，并在那里工作了20年。 1787年，他移居巴黎，在法国科学院任职。 1793年法国大革命爆发，因为他是意大利人，而意大利是敌国，他差点被监禁。幸运的是，现代化学之父拉瓦锡（-de，1743-1794）竭力营救，才幸免于难。但不久之后，拉瓦锡成为斩首机的受害者。 1799年拿破仑（1769-1821）上台后，提名拉格朗日等几位著名科学家为上议院议员，后来又封他为伯爵（图1）。 1813年，他还被授予帝国大十字勋章。不幸的是，拉格朗日此时病重，不久就去世了。在他的葬礼上，上议院议长、著名数学家拉普拉斯（-西蒙，1749-1827）发表了悼词。

    图1，约瑟夫·拉格朗日

    拉格朗日对数学、力学和天文学三个学科做出了重大贡献。但他最大的贡献是数学。例如，他证明了2000年前古希腊人留下的一个问题：任何整数都可以表示为4个数字的平方和，例如5 = 2² + 1² + 0² + 0²、21 = 4² + 2² + 1² + 0²，127 = 11² + 2² + 1² + 1²，……。这个证明的简单性和复杂性令人惊叹。

    拉格朗日利用数学方法来研究力学和天文学。 1786年，他出版了著名的力学著作《力学分析》（法文：Mé）。在书的序言中，他自豪地说，他用的是分析方法，书中没有一张图。与牛顿的直接求导法不同，拉格朗日力学法没有使用力的概念，而是直接基于动能和势能的相互作用。他首先定义了一个拉格朗日算子（称为）：

    然后他说机械系统将达到平衡（），因此可以推导出拉格朗日-欧拉方程：

    如上所述，在动能中

    ，势能

    。前者与位置无关，后者与速度无关，代入上式即可得到。

    在这个方程中，左边是加速度，右边是重力。这恰好是牛顿第二定律：。拉格朗日还给出了一套求解机械运动的方法：

    这种方法很容易使用，许多用牛顿方法看似无法解决的问题变得出奇的简单。它是解决机械运动问题的有力工具。

    拉格朗日还解决了上述三个物体的运动问题（即太阳、地球、月球在各自引力作用下的运动），并与欧拉分享了解决这一问题的奖金。 。在地球绕太阳运动的系统中，欧拉发现了三个平衡点：

    ,

    ,

   

    ，在这些点上，太阳的吸引力和地球的吸引力完全抵消为零。

    拉格朗日又发现了两点

    ,

    。如今，这些点称为拉格朗日点（图 2）。

    由于重力为零，因此这些点的运动非常容易。 2015年，美国宇航局发射了一颗观测太阳气候的卫星“深空观测站”。这颗卫星位于 L₁，向我们发送每日太阳天气状况。其他几个拉格朗日点距离地球太远而无法使用。

    事实上，拉格朗日最著名的是他的拉格朗日优化方法。这种方法是人工智能计算的基础之一。

    图2，拉格朗日点和卫星（注意，这是示意图，未按比例绘制）

    物体的运动和能量是看得见、摸得着的，并且可以通过实验来验证。同时，实验也会提出新的问题，推动理论的发展。理论与实验的结合推翻了形而上学的思想统治，从而使人类文明向前迈进了一大步。今天我们经常做实验来检验我们的理论。

    广东科学中心实验探索馆内有许多实验装置。有一个动量转盘（图3）。如果你在上面放一个小圆盘，盘子就会相应地旋转。这里的知识大家可能不知道：转盘逆时针旋转，放在上面的小圆盘顺时针旋转。这是为什么呢？我们可以“问”科里奥利。

    图3：广东科学中心实验探索馆动量转盘

    古斯塔夫·科里奥利（ ，1792-1843）出生于巴黎，父亲是一名军官。科里奥利从小就在学业上表现出色。 1808年考入著名的法国理工学院（École）。毕业后，他在工业界工作了几年。 1816年，他在老师著名数学家路易斯·柯西（Louis 1789-1857）的推荐下回到理工学院任教。 1829年，他和两位同事提出了“功”的概念：功等于力乘以力作用的距离。 1835年，他提出了科里奥利力。他证明运动的叠加会产生额外的力（科里奥利力）。如图4所示，当黑球从旋转圆盘中心向外移动时，如果圆盘逆时针旋转，原来沿直线移动的球将顺时针旋转。

    图4、科里奥利力

    科里奥利力无处不在。例如，由于地球自西向东逆时针旋转，北半球的气流将顺时针旋转，而南半球的气流将逆时针旋转。因此，广东常刮东南风，东南海给广东带来雨水。加州也吹东南风，但东南部的沙漠给加州带来了干旱。两地的气候完全不同。图4显示了地球季风的趋势。这些季风受到科里奥利力的影响，对全球气候非常重要。

    我们周围也存在科里奥利力。读者可以看看家里的厕所。冲水时，水流顺时针旋转。如果你去南半球，它会逆时针旋转。

    图 4，地球季风

    我们在《院士说》一文中介绍了傅科摆 |广东科学中心的钟摆。福柯（Jean Léon，1819-1868）和科里奥利同时居住在巴黎，但彼此并不认识。科里奥利自幼体弱多病，51岁时去世。福柯比他小27岁，所以并不认识他。傅科摆的运动方程可以使用科里奥利力求解。

    另一位对机械理论做出杰出贡献的人是汉密尔顿。爱尔兰学者威廉·汉密尔顿（罗文，1805-1865）出生于一个中产阶级家庭。他的父亲没有接受过正规教育，但他自己当了一名律师，开了一家律师事务所，工作忙碌。汉密尔顿的早期教育主要依靠他的母亲和一位担任牧师的叔叔。他的学习成绩非常出色。 17岁时，他发现了拉普拉斯书中的错误，并赢得了大学老师的赞扬。汉密尔顿19岁时结识了凯瑟琳·迪士尼（ ），两人一见钟情并深深坠入爱河。汉密尔顿为凯瑟琳写了许多情诗。然而，汉密尔顿当时还只是一名大学生。凯瑟琳的母亲强迫凯瑟琳嫁给别人。两人都伤心欲绝，汉密尔顿也病重了。三年后，汉密尔顿以优异的成绩毕业，并在老师的推荐下被任命为爱尔兰皇家天文学家（Royal of ）和天文台台长。这在年轻的爱尔兰学者中是独一无二的。汉密尔顿在爱情中遭遇挫折，因此他相信真爱是难得的。既然他得不到凯瑟琳，其他女人也不例外。次年，他与天文台的邻居海伦·玛丽亚·贝利结婚。两人育有两子一女。海伦的父母生病了，经常不得不回家照顾他们。然而，孩子们却给汉密尔顿的生活增添了很多乐趣。 1848年，他和凯瑟琳偶然相遇。虽然十几年过去了，两人都已结婚生子，但仍忍不住互致书信，互相抒发感情。几个月后，凯瑟琳觉得难以忍受，向丈夫表白了自己的爱，并搬回了家乡。汉密尔顿因工作努力、酗酒而陷入抑郁。 1853年，凯瑟琳病重，希望再次见到汉密尔顿。汉密尔顿立即去展示了他的第一本书。两周后，凯瑟琳去世。从此，汉密尔顿变得更加郁闷，工作也大不如前。他在完成第二本书之前就去世了。这本书最终由他的儿子编辑出版。

    图 5，威廉·汉密尔顿

   

    汉密尔顿力学方法与拉格朗日力学方法类似，但更全面、更复杂。汉密尔顿算子（称为）是：

    如上所述，T 是动能，V 是势能。这与拉格朗日算子只是一个符号不同，但含义却完全不同。它描述了系统的能量守恒规则，因此不仅可以用于机械系统，还可以用于电子系统、量子力学系统等。

    汉密尔顿最大的贡献是矩阵运算。为了解决高维空间中的运动问题，他想将二维复数扩展到高维空间。他苦苦思索了好几年。每天早上，他的孩子们都会开玩笑地问他是否解决了问题。他承认他只会加减，不会乘除。有一天，他和妻子海伦一起去参加一场集会。海伦在路上一边走着，一边说这说那，但他大概没有听到。当他走到一座石桥时，突然停下来，捡起一块石头，在桥栏杆上写下了著名的四元数基本方程()：

    这座桥称为扫帚（图 6）。今天，桥上矗立着爱尔兰皇家学会的纪念碑。四元数法可以用矩阵来表示。矩阵的点积和叉积都是由  定义的。

    图 6. 汉密尔顿在金雀花桥的栏杆上画出了四元数的基本方程。

    汉密尔顿有一句名言：“阿基米德或马塞勒斯（公元前270年-公元前208年，征服西西里岛并杀死阿基米德的罗马将军），谁想成为马塞勒斯，而不是马塞勒斯？”阿基米德（谁不会比他更有名）？ “征服城市固然光荣一时，但怎么能与那些为人类发现知识、了解世界、改变世界的科学家相比呢？

    到了20世纪，力学逐渐细分为多个分支，包括：

    这些学科塑造了我们今天的生活。例如，流体力学是飞机设计的基础。流体力学研究飞机起飞时的升力。如果稍有偏差，飞机就可能无法飞行。

    有学者列出了对流体力学做出巨大贡献的里程碑式人物（图7）。牛顿、欧拉、拉普拉斯和拉格朗日当然也在名单上。中国学者周培源（1902-1993）也在其中。周培源教授是美国加州理工学院第一位华人博士，曾任北京大学校长。他专门研究边界对湍流的影响，对流体力学理论做出了重要贡献。

    图 7. 流体力学研究的里程碑人物

    图8，1932年周培源教授与夫人王涤诚的结婚照。两人相恋六十年。

    20世纪60年代，随着计算机技术的发展，出现了一种新的力学研究工具：有限元分析。有限元分析技术最早由美国学者提出。随后美国航空航天局（NASA）组织开发了有限元分析软件（NASA），为其推广应用奠定了基础。我在美国学习和工作时（1980-1990年代）使用过这个免费软件。

    2008年，NASA规定所有机械问题都必须通过有限元分析来验证。结果，有限元分析已成为工程标准。

    图9是我们利用有限元分析鱼游动的水动力状态。如果拉格朗日看到这样的结果，他可能会感到惊讶。

    图9，我们用有限元分析鱼游动的流体动力学