机械能守恒定律的建立背景与准确表述：从保守弹力到伯努利方程

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    摘要：本文简要介绍了机械能守恒定律的建立背景以及各物理教材中机械能守恒定律的不同表述。同时分析了这些表述不准确的原因主要是弹性概念内涵的复杂性和保守力概念的广泛外延。引入保守弹性的概念，基于保守弹性的概念准确地表达了机械能守恒定律。

    关键词：伯努利方程；保守弹力；非保守弹力；机械能守恒定律；准确表达

    1 机械能守恒定律的建立

    机械能守恒定律基于对落体和摆钟的研究。

    1656年，惠更斯（，1629-1695）根据单摆的等时原理发明了摆钟。在研究摆钟时，惠更斯注意到这样一个事实：“即使除去空气和阻力，运动中的摆锤的重心在下降和上升时也必须轨迹相等的弧线”。他的见解是应用伽利略（1564-1642）早年关于重心问题的原理：“物体下落的速度可以使其跳回到原来的高度，而不会更高。”他们的见解虽然只是表面的，但却为机械能守恒定律的建立奠定了基础。

    1666年，新成立的英国皇家学会在例会上要求物理学家研究当时还不为人所知的碰撞现象。到1669年，惠更斯从弹性碰撞的研究中认识到，弹性碰撞中除了质量与速度的乘积守恒外，还有一个量也守恒，即质量与速度的乘积平方。为此，惠更斯认为“完全弹性物体的运动总能量不会因碰撞而改变”。这可以说是第一次提出机械能守恒定律。

    1686年，莱布尼茨（1646-1716）采用了惠更斯提出的质量与速度平方的乘积，并将其称为“活力”。同时，莱布尼茨也称其为“生命力”。 “死亡力量”。莱布尼茨发现力与距离的乘积与“生命能量”的变化成正比。

    1829年， JV（1788-1867）在《技术力学导论》一书中，根据科里奥利（1792-1843）的建议，用mv2/2代替了mv2，并提出了“功”的概念”，提出了机械过程中的能量守恒定律：功的代数和的两倍等于能量之和。功和能量不能并存。任何时候都从无中产生；功力或活力不能转化为虚无，而只能形成虚无。

     JV的能量守恒原理实际上相当于后来的动能定理。

    明确提出机械能守恒定律的学者是约翰·伯努利（ ，1667-1748）和他的儿子丹尼尔·伯努利（ ，1667-1748）[14]。 1738年，约翰·伯努利（ ，1700-1782）在他的《流体力学》中引入了“势函数”的概念，提出了势的实际减少与增加相等的原理。他将这一思想应用到理想流体的运动中，并推导出著名的伯努利方程：

    伯努利方程的发现，突破了“能量守恒定律”的局限性，非常接近后来所谓的机械能守恒原理。它可以被认为是流体力学中机械能守恒定律的一个特例。因此，伯努利方程可以说是机械能守恒定律的原型。

    1847年，年仅26岁的亥姆霍兹（1821-1894）发表了一篇论文《活力守恒》，文中强调了活力守恒，分析了力守恒原理。其中“能量守恒定律”和“力对守恒原理”后来分别被称为“动能守恒原理”和“机械能守恒原理”。

    随着机械科学的发展，研究人员将一个物体或由多个物体组成的系统的总能量区分为动能和势能。如果一个系统的总能量只能分解为动能和势能，这样的系统称为保守系统；如果一个系统的总能量可以分解为动能和势能，则还存在其他能量（如内能），这样的系统称为非保守系统。所谓保守系统是指没有能量耗散的系统，而非保守系统是指有能量耗散的系统。

    1853年，格拉斯哥大学工程力学教授 WJM（1820-1872）首先提出“能量守恒定律”的概念，并表达了能量转换定律，即能量转换的基本定律为：众所周知，能量守恒定律是动能和势能的实际总和保持不变。

    至此，模糊了百年的“活力”概念才真正退出了历史舞台。

    19世纪中叶，迈尔、焦耳、亥姆霍兹、兰金等10多位不同专业的科学家从不同方面独立发现了能量转换和守恒定律：孤立系统的总能量保持不变。

    随着能量转换守恒定律的建立和实际应用，机械能守恒定律也应运而生。大量事实证明：在保守系统中，动能和势能之和保持不变；动能只能转化为势能，势能也只能转化为动能。用公式表示为

    这就是机械能守恒定律。

    2.机械能守恒定律的传统表述及其不准确性

    上述机械能守恒定律的表述中，并没有对“守恒系统”和“势能”这两个关键概念的外延进行定义，也没有明确功与动能之间的转换关系，势能，而且说法很笼统（当然这和当时的研究背景有很大关系）。因此，在后来的实际研究和工作中，机械能守恒定律根据不同的实际情况有不同的表达。同时，其表达的准确性长期以来一直存在争议或讨论。近几十年来，不同版本的中学物理教科书和各种版本的大学物理教科书以数十种方式表达了机械能守恒定律。基本上，不同的版本有不同的表达方式。

    2.1 中学物理教材的表现形式

    根据1977年恢复高考以来中学物理教材多次修改的情况来看，人民教育出版社出版的教材中机械能守恒定律的表述大致有八种。 1-8]。

    【解释1】对于一个物体系统，如果只有系统内部的重力和弹力做功，而没有其他内力或外力做功，那么物体系统的动能和势能可以相互转化，而总机械能保持不变。

    [表达式2] 当只有重力作用时，物体的动能和重力势能相互转换，但总机械能保持不变。

    [表达式3] 如果没有摩擦力和介质阻力，则当动能和势能相互转换时，物体的机械能总量保持不变。

    [表达式4] 如果没有摩擦和介质阻力，则当物体将动能和势能相互转换时，机械能的总量保持不变。

    [表达式5] 如果没有摩擦力和介质阻力，并且物体仅将动能和势能相互转换，则机械能的总量保持不变。

    [表达式6] 当只有重力作用时，物体的动能和重力势能相互转换，但机械能总量保持不变。

   

    [表达式7] 当只有重力和弹力做功时，物体的动能、重力势能和弹性势能相互转换，但机械能总量保持不变。

    [表达式8] 在仅重力或弹力起作用的物体系统中，动能和势能可以相互转换，而总机械能保持不变。

    中学物理教材中的这八种表述有的比较相似，可以分别概括。 [表达式1]、[表达式7]和[表达式8]可以概括为：

    【说法1】如果只有重力和弹力做功，则物体（物体系统）的动能、重力势能、弹性势能相互转换，而总机械能不变。

    [表达式2]和[表达式6]可以概括为：

    【说法2】如果只有重力起作用，则物体（物体系统）的动能和重力势能相互转换，而总机械能保持不变。

    [表达式3]、[表达式4]和[表达式5]可以概括为：

    【说法3】如果只发生动能和势能的相互转换，则物体（机体系统）的机械能总量保持不变。

    2.2 高校物理教材的呈现形式

    不同版本的高校物理教材通常对机械能守恒定律有不同的表述。以下摘录自20世纪60年代以来多个不同版本的高校物理教科书中机械能守恒定律的表述[9-13]。

    【解释9】作用在粒子上的力都是力。粒子动能的增加等于粒子势能的减少。粒子动能的减少等于粒子势能的增加。

    【解释10】当作用在粒子系统上的外力不做功，且粒子系统的非保守内力不做功时，粒子系统的总机械能守恒。

    [表达式11] 保守的内力和保守的外力确实起作用。系统动能的增加等于系统势能的减少，系统的机械能保持不变。

    [表达式12] 如果在过程中外部非保守力不做功，并且每对内部非保守力也不做功，则粒子系统的机械能守恒。

    [表达式13] 当作用在质点上的力均为保守力时，尽管质点的动能和势能会相互增减，但总机械能的值始终保持不变。

    可见，高校物理教材的描述中引入了“保守力”或“非保守力”的概念。这是与中学物理课本上的描述最明显的区别。这些表达方式非常相似，可以概括为：

    【说法4】如果只有保守力做功，则物体（物体系统）的动能和势能相互转化，而总机械能保持不变。

    2.3 传统表述的不准确性

    无论是中学物理教科书还是高校物理教科书，机械能守恒定律的表达总是存在着或完美但不正确、或正确但不完美、或明显模糊等不准确之处。这种不准确的主要原因是弹性概念内涵的复杂性和势能概念外延的广泛性。

    2.3.1 弹性概念对机械能守恒定律表达的影响

    事实上，根据弹力做功的特点，弹力可以分为两类。其中，一类弹力做功会引起弹性势能的变化，而另一类弹力做功则不会引起弹性势能的变化。具体来说，物体在变形过程中弹力所做的功会引起势能的变化。这类弹力是一个变化量，如弹簧振子振动时的弹力；物体在一定变形状态下弹力所做的功不会引起势能的变化。 ，这类弹力是一个常数，如俗称的压力、支撑力、拉力。

    因此，中学物理课本中对机械能守恒定律的描述中，如果涉及到弹力所做的功，那就是完美的，也是不正确的；如果不涉及弹力所做的功而只涉及所做的功，显然是不完整的。例如，经过上述归纳，【陈述1】“如果只有重力和弹力做功，则物体（物体系统）的动能、重力势能、弹性势能相互转换，而总机械能保持不变”看似完美，但并不正确。正确，因为弹性功可能包括“不会引起弹性势能变化”的成分。而【陈述2】“如果只有重力起作用，则物体（物体系统）的动能和重力势能相互转化，而总机械能保持不变”显然是正确且不完整的，因为机械能概念中的势能包括弹性势能。

    为了避免出现【说法一】和【说法二】的尴尬局面，一些中学物理教科书在描述机械能守恒定律时，并不涉及任何力做功，而只使用“仅”这样的通用术语。动能和势能的相互转换” “混淆做功的过程，例如，[陈述3] “如果只发生动能和势能的相互转换，则物体的机械能总量（身体系统）遗骸显然，这个表达式并不知道是什么力导致了由于做功而产生的势能的变化，而实际处理问题时机械能守恒定律成立的条件又不清楚，这显然会导致同时，该表达式中“势能”的定义不明确，可能会引起歧义。

    2.3.2 势能概念对机械能守恒定律表达的影响

    势能的概念是基于保守力所做的功。

    当物体在一定力的作用下从一个位置运动到另一个位置时，力对物体所做的功与物体的运动路径无关，而只取决于物体的起止位置和运动轨迹。力的性质。相关，那么这样的力称为保守力。例如万有引力、万有引力、电场力、分子力等都是保守力。

    如果某个力对物体所做的功与物体的运动路径有关，那么这个力就称为非保守力。例如，摩擦力是最常见的非保守力。

    在保守力的作用下，物体从一个位置移动到另一个位置的能量变化是确定的。因此，可以想象，当一个物体处于某个位置时，它就具有与该位置相对应的一定的能量。这种与物体位置相关的能量称为势能。

    保守力场中物体在某一位置 Q 的势能等于当物体从该位置移动到参考点或参考面（具有选定的势能 0) O 。势能可以表示为

   

    这个表达式可以称为势能的定义。

    势能概念的外延非常广泛。最常见的势能包括重力势能（重力势能）、弹性势能、电势能和分子势能。

    长期以来，高校物理教材中机械能守恒定律的表述都引用了保守力的概念。这样的表达式当然比中学物理课本上的表达式完整得多，但是这些表达式对于影响机械能的保守力概念的外延和势能概念的外延并没有任何针对性的定义和解释。在机械能守恒定律中。例如，[表达式4]“如果只有保守力做功，则物体（身体系统）的动能和势能相互转换，而总机械能保持不变。”显然，这样的说法存在明显的歧义。试想一下，如果一个物体（物体系统）同时处于引力场、静电场等多个保守力场中，并且这些保守力场对应的每个保守力都做功，那么动能之间存在关系以及各种形式的势能。如果存在相互转化，机械能还守恒吗？答案当然是否定的。

    3. 弹性和机械能守恒定律的准确表达

    中学物理教材中，在讲授机械能守恒定律之前，首先讲授重力做功、弹力做功、重力势能和弹性势能的特性，作为准备。因此，将保守力、非保守力等概念引入中学物理教科书中不会有任何困难。

    3.1 保守弹性的介绍

    根据保守力做功的特点和弹力做功的特点，弹力可分为保守弹力和非保守弹力。

    如前所述，弹性可以分为两类。其中，做功会引起弹性势能变化的弹力类型称为保守弹力，不引起弹性势能变化的弹力类型称为非保守弹力。显然，物体在变形时的弹力是保守弹力，而物体在一定变形状态下的弹力是非保守弹力。

    3.2 机械能守恒定律的准确表达

    根据重力（万有引力）和保守弹力的特点以及机械能概念[动能、重力势能（重力势能）、弹性势能]的延伸，可以准确地表述机械能守恒定律表示为：

    “如果只有重力（万有引力）和/或保守弹力做功和/或其他力做功的代数和为零，则物体（物体系统）的动能、重力势能（引力势能）和弹性势能相互转化，总机械能保持不变。这个定律就是机械能守恒定律。”

    对精确表达机械能守恒定律的关键条件“只有重力（万有引力）和/或保守弹力起作用”的理解包括两种情况，即：一、除万有引力（万有引力）和/或保守弹性力，做功没有其他力做功；其次，除了重力（重力）和/或保守弹性之外，还有其他力做功，但其他力所做的功的代数和为零。

    4 结论

    机械能守恒定律的准确表达，严格定义了唯一对机械能产生影响的两种保守力：“重力（万有引力）”和“保守弹力”，并严格定义了概念中包含的势能。机械能仅称为“重力势能（ ）”。 ）”和“弹性势能”。这样就避免了传统表达中的“完美但不正确”、“正确但不完整”、“歧义”等现象。

    参考

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